每日一题[2806]玄冥二老

设函数 $f\left(x\right) = \ln x - ax$，$g\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x} - ax$，其中 $a$ 为实数．

1、若 $f\left(x\right)$ 在 $\left(1, + \infty \right)$ 上是单调减函数，且 $g\left(x\right)$ 在 $\left(1, + \infty \right)$ 上有最小值，求 $a$ 的取值范围．

2、若 $g\left(x\right)$ 在 $\left( - 1, + \infty \right)$ 上是单调增函数，试求 $f\left(x\right)$ 的零点个数，并证明你的结论．

解析    

1、本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，求导后根据导数的零点分段讨论即可． 函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的导函数分别为

$$f'(x)=\dfrac{1-ax}x,\quad g'(x)={\rm e}^x-a,$$ 讨论分界点是 $a=1,{\rm e}$．

情形一     $a\leqslant {\rm e}$．此时 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，没有最小值，不符合题意．

情形二     $a>{\rm e}$．此时 $g(x)$ 在 $(1,\ln a)$ 上单调递减，在 $(\ln a,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=\ln a$ 处取得极小值亦为最小值．而 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，符合题意． 因此 $a$ 的取值范围是 $({\rm e},+\infty)$．

2、本题考查利用导数研究函数的单调性和零点，根据函数的最值作为讨论分界点是解决问题的关键． 若 $g(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增，则

$$\forall x>-1,{\rm e}^x-a\geqslant 0,\iff a\leqslant {\rm e}^{-1}.$$

情形一     $a\leqslant 0$．此时 $f(x)$ 在 $x\in(0,+\infty)$ 上单调递增，考虑到

$$f(1)=-a\geqslant 0,\quad f\left({\rm e}^a\right)=a\left(1-{\rm e}^a\right)\leqslant 0,$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $x\in(0,+\infty)$ 上有 $1$ 个零点．

情形二     $0<a<{\rm e}^{-1}$．此时 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 1a\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac 1a,+\infty\right)$ 上单调递减．在 $x=\dfrac 1a$ 处取得极大值亦为最大值

$$f\left(\dfrac 1a\right)=\ln\dfrac 1a-1>0.$$ 考虑到 $$f(a)=\ln a-a^2<a-1-a^2<0,$$ 且当 $x>\dfrac 4{a^2}$ 时，有 $$f(x)<2\left(\sqrt x-1\right)-ax<\sqrt x\left(2-a\sqrt x\right)<0,$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $x\in(0,+\infty)$ 上有 $2$ 个零点．

情形三    $a={\rm e}^{-1}$．此时 $f(x)$ 在 $(0,{\rm e})$ 上单调递增，在 $({\rm e},+\infty)$ 上单调递减，在 $x={\rm e}$ 处取得极大值亦为最大值 $f({\rm e})=0$，因此函数 $f(x)$ 在 $x\in(0,+\infty)$ 上有 $1$ 个零点．

综上所述，$f(x)$ 的零点个数为 $\begin{cases} 1,&a\in(-\infty,0)\cup\left\{{\rm e}^{-1}\right\},\\ 2,&a\in\left(0,{\rm e}^{-1}\right).\end{cases}$