每日一题[2800]分而治之

设函数 $f\left(x\right) = {a^x} + {b^x} - {c^x}$，其中 $c > a > 0$，$c > b > 0$．

$(1)$ 记集合 $M = \left\{ \left(a, b,c\right)\mid a,b,c~\text{ 不能构成一个三角形的三条边长},~\text{且}~a = b \right\}$，则 $\left(a,b,c\right) \in M$ 所对应的 $f\left(x\right)$ 的零点的所有可能取值构成的集合为[[nn]]；

$(2)$ 若 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 的三条边长，则下列结论正确的是 [[nn]]．（写出所有正确结论的序号）

① $\forall x \in \left( { - \infty ,1} \right)$，$f\left( x \right) > 0$；

② $\exists x \in {\mathbb{R}}$，使 ${a^x},{b^x},{c^x}$ 不能构成一个三角形的三条边长；

③ 若 $\triangle ABC$ 为钝角三角形，则 $\exists x \in \left( {1,2} \right)$，使 $f\left( x \right) = 0$．

答案    $\left\{x \mid 0<x\leqslant 1\right\}$；①②③．

解析    本题综合考查指数函数的性质以及对新定义的理解，通过变形得到函数 $f(x)$ 的单调性是解决问题的关键．

$(1)$ 若 $a,b,c$ 不能构成一个三角形的三条边长且 $a=b$，则 $\dfrac ca\geqslant 2$ 且 $$f(x)=2a^x-c^x,$$ 此时 $f(x)$ 的零点为 $$x={\log_{\frac ca}}2=\dfrac{\ln 2}{\ln\dfrac ca},$$ 其取值范围是 $(0,1]$．

$(2)$ 若 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长，由于 $c$ 是最长边，因此 $a+b》c$．由于 $$f(x)=c^x\cdot \left(\left(\dfrac ac\right)^x+\left(\dfrac bc\right)^x-1\right),$$ 记 $g(x)=\left(\dfrac ac\right)^x+\left(\dfrac bc\right)^x-1$，则 $g(0)=1$，$g(1)=\dfrac{a+b-c}c>0$，且 $g(x)$ 是 $x\in \mathbb R$ 上的单调递减函数．

对于命题 ①，由于当 $x\in (-\infty,1)$ 时，有 $g(x)>g(1)>0$，于是 $$f(x)=c^x\cdot g(x)>0,$$ 命题成立；

对于命题 ②，$(3,4,5)$ 是三角形的三边长，但 $(3^2,4^2,5^2)$ 不能构成一个三角形的三条边长，命题成立；

对于命题 ③，若 $\triangle ABC$ 是钝角三角形，则根据余弦定理，有 $$a^2+b^2-c^2<0\iff g(2)<0,$$ 于是存在 $x\in (1,2)$，使 $g(x)=0$，也即存在 $x\in (1,2)$，使 $f(x)=0$，命题成立．

综上所述，正确的结论是 ①②③．