每日一题[2799]反射与对称

在等腰直角三角形 $ABC$ 中，$AB=AC = 4$，点 $P$ 是边 $AB$ 上异于 $A,B$ 的一点，光线从点 $P$ 出发，经 $BC,CA$ 反射后又回到点 $P$（如图）．若光线 $QR$ 经过 $\triangle ABC$ 的重心，则 $AP$ 等于（       ）

A．$2$

B．$1$

C．$\dfrac{8}{3}$

D．$\dfrac{4}{3}$

答案    D．

解析    本题考查直线与直线的位置关系，利用对称简化反射路径是解决问题的关键． 如图，以 $A$ 为原点，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系．

易知 $B\left( {4,0} \right),C\left( {0,4} \right)$，从而直线 $BC$ 的方程为 $x + y = 4$，$\triangle ABC$ 的重心为 $G\left( {\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3}} \right)$．设 $P\left(t,0\right)$ 为线段 $AB$ 上一点，则 $P$ 关于直线 $AC,BC$ 的对称点分别为

$$N\left(-t,0\right), \quad M\left(4,4-t\right),$$ 所以直线 $MN$ 的方程为 $$y = \dfrac{4 - t}{4 + t}\left( {x+ t} \right).$$ 根据题意，$G$ 在直线 $MN$ 上，则 $$\dfrac{4}{3} = \dfrac{4 - t}{4 + t}\left( {\dfrac{4}{3} + t} \right)\iff t=\dfrac 43.$$