每日一题[2797]分工协作

设 $a,b \in {\mathbb{R}}$，定义运算" $\wedge$ "和" $\vee$ "如下：$a \wedge b = {\begin{cases} a,&a \leqslant b, \\ b,&a > b, \\ \end{cases}}$ $a \vee b = {\begin{cases} b,&a \leqslant b, \\ a,&a > b. \\ \end{cases}}$ 若正数 $a,b,c,d$ 满足 $ab \geqslant 4$，$c + d \leqslant 4$，则（       ）

A．$a \wedge b \geqslant 2$，$c \wedge d \leqslant 2$

B．$a \wedge b \geqslant 2$，$c \vee d \geqslant 2$

C．$a \vee b \geqslant 2$，$c \wedge d \leqslant 2$

D．$a \vee b \geqslant 2$，$c \vee d \geqslant 2$

答案    C．

解析    本题考查对新定义的理解，应用不等式知识进行推理论证即可． 根据题意，有 $a\wedge b\leqslant a\vee b$，因此

$$ab\geqslant 4\iff (a\wedge b)\cdot (a\vee b)\geqslant 4\implies (a\vee b)\geqslant 2,$$ 类似的，有 $$c+d\leqslant 4\iff (c\wedge d)+(c\vee d)\leqslant 4\implies c\wedge 4\leqslant 2,$$ 因此选项 $\boxed{C}$ 正确．