每日一题[2796]三国演义

已知 $a \in {\mathbb{R}}$，函数 $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 3ax - 3a + 3$．

1、求曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left( {1,f\left( 1 \right)} \right)$ 处的切线方程．

2、当 $x \in \left[ {0,2} \right]$ 时，求 $\left| {f\left( x \right)} \right|$ 的最大值．

解析

1、本题考查利用导数研究函数的切线，根据导数的几何意义求解即可． 根据题意，有 $$f'\left( x \right) = { 3 }{x^{ 2 }} - { 6 }x + { 3 }a,$$ 故 $$f'\left( { 1 } \right) = { 3 }a - { 3 },\quad f\left( { 1 } \right) = { 1 },$$ 所以所求的切线方程为 $$y = \left( {{ 3 }a - { 3 }} \right)x - { 3 }a + { 4 }.$$

2、本题考查利用导数研究函数的最值，注意根据导函数的零点与求解区间的位置关系展开讨论是解决问题的关键． 函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=3x^2-6x+3a,$$ 于是 $f'(0)=f'(2)=3a$，对应的对称轴为 $x=1$，判别式 $\Delta=36(1-a)$，因此讨论分界点为 $a=0,1$．记 $|f(x)|$ 在 $x\in[0,2]$ 上的最大值为 $m$．

情形一    $a\in(-\infty,0]$．此时 $f(x)$ 在 $x\in[0,2]$ 上单调递减，于是 $$m=\max\{|f(0)|,|f(2)|\}=\max\{-3a+3,3a-1\}=-3a+3.$$

情形二     $a\in(0,1)$．此时设 $x_1=1-\sqrt{1-a}$，$x_2=1+\sqrt{1-a}$，则 $0<x_1<x_2<2$ 且 $$f'(x)=3(x-x_1)(x-x_2),$$ 于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \hline x&0&\left(0,x_1\right)&x_1& \left(x_1,x_2 \right)&x_2& \left(x_2,2 \right)&2\\ \hline f'\left(x\right)& &+&0&-&0&+& \\ \hline f\left(x\right)&3-3a&\nearrow&\text{极大值}&\searrow&\text{极小值}&\nearrow &3a-1\\ \hline\end{array}$$ 而 $$f(x_1)=1+2(1-a)^{\frac 32},\quad f(x_2)=1-2(1-a)^{\frac 32},$$ 此时 $$\begin{split} m&=\max\{|f(0)|,|f(x_1)|,|f(x_2)|,|f(2)|\}\\ &=\max\left\{-3a+3,1+2(1-a)^{\frac 32},3a-1\right\}\\ &=\begin{cases} 1 + 2\left( {1 - a} \right)\sqrt {1 - a} ,&a\in\left(0,\dfrac 34\right),\\ 3a - 1,&a\in\left[\dfrac 34,1\right).\\ \end{cases} \end{split}$$ 如图． 

情形三     $a\in[1,+\infty$．此时函数 $f(x)$ 在 $x\in[0,2]$ 上单调递减，于是 $$m=max\{|f(0)|,|f(2)|\}=3a-1.$$

综上所述，当 $x\in[0,2]$ 时，$|f(x)|$ 的最大值为 $\begin{cases} - 3a+3,&a\in(-\infty,0], \\ 1 + 2\left( {1 - a} \right)\sqrt {1 - a} ,&a\in\left(0,\dfrac 34\right),\\ 3a - 1,&a\in\left[\dfrac 34,+\infty\right).\\ \end{cases}$