每日一题[2795]一箭双雕

如图，点 $P\left(0,-1\right)$ 是椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a > b > 0$）的一个顶点，$C_1$ 的长轴是圆 $C_2:x^2+y^2=4$ 的直径．$l_1,l_2$ 是过点 $P$ 且互相垂直的两条直线，其中 $l_1$ 交圆 $C_2$ 于 $A,B$ 两点，$l_2$ 交椭圆 $C_1$ 于另一点 $D$．

1、求椭圆 $C_1$ 的方程．

2、求 $\triangle ABD$ 面积取最大值时直线 $l_1$ 的方程．

解析

1、本题考查椭圆的基本量与方程，利用基本量表达条件即可． 根据题意，有 $b=1$ 且 $a=2$，所以椭圆 $C_1$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4} + {y^2} = 1$．

2、本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，引入直线斜率作为参数用不同的方式求解对应弦长是解决问题的关键． 根据题意，直线 $l_1$ 的斜率存在且不为 $0$，设为 $k$，则直线 $l_1:y=kx-1$．进而原点 $O$ 到 $AB$ 的距离 $d=\dfrac{1}{\sqrt{k^2+1}}$，弦长

$$|AB|=2\sqrt{4-d^2}=2\sqrt{\dfrac{4k^2+3}{k^2+1}}.$$ 此时 $l_2:x+ky+k=0$，与椭圆 $C_1$ 的方程联立可得 $$(4+k^2)x^2+8kx=0,$$ 因此点 $D$ 的横坐标 $$x_0=-\dfrac{8k}{4+k^2},$$ 所以根据弦长公式，有 $$|PD|=\sqrt{1+\dfrac1{k^2}}\cdot |x_0|=\dfrac{8\sqrt{k^2+1}}{k^2+4}.$$ 因此 $\triangle ABD$ 的面积 $$\begin{split} S(k)&=\dfrac 12\cdot |AB|\cdot |PD|\\ &=\dfrac{8\sqrt{4k^2+3}}{k^2+4}\\ &=\dfrac{16\cdot \sqrt{k^2+\dfrac 34}}{\left(k^2+\dfrac 34\right)+\dfrac {13}4}\\ &=\dfrac{16}{\sqrt{k^2+\dfrac 34}+\dfrac {13}4\cdot \dfrac{1}{\sqrt{k^2+\dfrac 34}}}\\ &\leqslant \dfrac{16}{\sqrt{13}},\end{split}$$ 等号当且仅当 $k^2+\dfrac 34=\dfrac{13}4$ 也即 $k=\pm\dfrac{\sqrt{10}}2$ 时取得，因此当 $\triangle ABD$ 的面积取得最大值时直线 $l_1$ 的方程为 $y=\pm\dfrac{\sqrt{10}}2x-1$．