每日一题[2790]摆石子

古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 $1,3,6,10,\cdots$，第 $n$ 个三角形数为 $\dfrac{n\left(n + 1\right)}{2} = \dfrac{1}{2}{n^2} + \dfrac{1}{2}n$．记第 $n$ 个 $k$ 边形数为 $N\left( {n,k} \right)\left(k \geqslant 3\right)$，以下列出了部分 $k$ 边形数中第 $n$ 个数的表达式：

三角形数 $N\left( {n,3} \right){ = }\dfrac{1}{2}{n^2}{ + }\dfrac{ 1 }{ 2 }n$，

正方形数 $N\left( {n,4} \right){ = }{n^2}$，

五边形数 $N\left( {n,5} \right){ = }\dfrac{3}{2}{n^2} - \dfrac{ 1 }{ 2 }n$，

六边形数 $N\left( {n,6} \right){ = }2{n^2} - n$，

$\cdots\cdots$

可以推测 $N\left( {n,k} \right)$ 的表达式，由此计算 $N\left( {10,24} \right) =$_______．

答案    $1000$．

解析    本题考查归纳推理，找到规律并计算即可． 根据题意，推测出

$$N(n,k)=\dfrac{k-2}2\cdot n^2-\dfrac{k-4}2\cdot n,$$ 于是 $$N(10,24)=\dfrac{24-2}2\cdot 10^2-\dfrac{24-4}2\cdot 10=1000.$$

备注  事实上，有

$$N(n,k)-N(n-1,k)=(k-2)\cdot (n-1)-1,$$ 于是 $$N(n,k)=\sum_{m=2}^n\big((k-2)\cdot (n-1)-1\big)+1=\dfrac{k-2}2\cdot n^2-\dfrac{k-4}2\cdot n.$$