每日一题[152] 三次函数的图象

2015年高考数学安徽卷理科第15题（填空压轴题）：

设$x^3+ax+b=0$，其中$a,b$均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_______（写出所有正确条件的编号）．

①  $a=-3$，$b=-3$；

②  $a=-3$，$b=2$；

③  $a=-3$，$b>2$；

④  $a=0$，$b=2$；

⑤  $a=1$，$b=2$．

正确答案是①③④⑤．

根据题意，直线$y=-b$和函数$y=x^3+ax$的图象有且仅有一个公共点．

先考虑$a=-3$的情形．

此时$f'(x)=3x^2-3$，于是$f(x)$在$x=-1$取得极大值$2$，在$x=1$处取得极小值$-2$，如图．

于是当$b<-2\lor b>2$时符合题意．

再考虑$a\geqslant 0$的情形．

此时$f(x)$单调递增，且值域为$\mathcal R$，于是必然符合题意．

综上，符合题意的答案为①③④⑤．