每日一题[2787]分段切线

已知函数 $f\left(x\right) = {\begin{cases} {x^2} + 2x + a,&x < 0 \\ \ln x,&x > 0 \\ \end{cases}}$，其中 $a$ 是实数．设 $A\left( {{x_1},f\left( {x_1} \right)} \right),B\left( {{x_2},f\left( {x_2} \right)} \right)$ 为该函数图象上的两点，且 ${x_1} < {x_2}$．

1、指出函数 $f\left( x \right)$ 的单调区间．

2、若函数 $f\left( x \right)$ 的图象在点 $A,B$ 处的切线互相垂直，且 ${x_2} < 0$，求 ${x_2} - {x_1}$ 的最小值．

3、若函数 $f\left( x \right)$ 的图象在点 $A,B$ 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、本题考查利用导数研究函数的单调性，求导后根据导数的正负判断函数的单调性即可． 函数 $f(x)$ 的导函数为

$$f(x)=\begin{cases} 2x+2,& x<0,\\ \dfrac 1x,&x>0,\end{cases}$$ 于是函数 $f\left( x \right)$ 的单调递减区间为 $\left( { - \infty , - 1} \right)$，单调递增区间为 $\left( - 1,0 \right),\left( {0, + \infty } \right)$．

2、本题考查利用导数研究函数的切线，抓住切点横坐标作为参数表达切线方程是解决问题的关键． 根据题意，有

$$x_1<x_2<0,$$ 于是由 $f(x)$ 的图象在 $A,B$ 处的切线互相垂直可得 $$f'(x_1)\cdot f'(x_2)=-1,\iff (2x_1+2)(2x_2+2)=-1,$$ 于是 $$x_2-x_1=\dfrac {-(2x_1+2)+(2x_2+2)}2\geqslant \sqrt{-(2x_1+2)(2x_2+2)}=1,$$ 等号当 $$-(2x_1+2)=2x_2+2=1\iff (x_1,x_2)=\left(-\dfrac 32,-\dfrac 12\right),$$ 时取得，因此所求最小值为 $1$．

3、本题考查利用导数研究函数的切线，抓住切点横坐标作为参数表达公切条件是解决问题的关键． 由于函数 $f(x)$ 的导函数在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上均为单调函数，因此

$$x_1<0<x_2,$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $x=x_1$ 处的切线方程为 $$y=x_1^2+2x_1+a+(2x_1+2)(x-x_1),$$ 即 $$y=(2x_1+2)x-x_1^2+a,$$ 在 $x=x_2$ 处的切线方程为 $$y=\dfrac {1}{x_2}(x-x_2)+\ln x_2,$$ 即 $$y=\dfrac{1}{x_2}\cdot x+\ln x_2-1.$$ 切线重合即 $$\begin{cases} 2x_1+2=\dfrac{1}{x_2},\\ -x_1^2+a=\ln x_2-1,\end{cases}$$ 消去 $x_2$，可得 $$a=x_1^2-\ln(2x_1+2)-1,$$ 其中 $-1<x_1<0$．注意到右侧关于 $x_1$ 单调递减，于是 $a$ 的取值范围是 $(-1-\ln 2,+\infty)$．