每日一题[2784]切线方程

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的焦距为 $4$，且过点 $P\left(\sqrt 2 ,\sqrt 3 \right)$．

1、求椭圆 $C$ 的方程．

2、设 $Q\left({x_0},{y_0}\right)$（${x_0}{y_0} \ne 0$）为椭圆 $C$ 上一点，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$．取点 $A\left(0,2\sqrt 2 \right)$，连接 $AE$，过点 $A$ 作 $AE$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $D$．点 $G$ 是点 $D$ 关于 $y$ 轴的对称点，作直线 $QG$，问这样作出的直线 $QG$ 是否与椭圆 $C$ 一定有唯一的公共点？并说明理由．

解析

1、本题考查椭圆的标准方程，用基本量表达条件即可． 根据题意，有

$$\begin{cases} 2\sqrt{a^2-b^2}=4,\\ \dfrac{2}{a^2}+\dfrac{3}{b^2}=1,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=8,\\ b^2=4,\end{cases}$$ 因此椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{4} = 1$．

2、本题考查直线与椭圆的位置关系，用 $Q$ 点的坐标作参数表达相切、垂径与对称是解决问题的关键． 如图．

根据题意，点 $Q$ 处的切线 $l:\dfrac{x_0x}{8}+\dfrac{y_0y}4=1$，其横截距为 $\dfrac8{x_0}$．点 $E(x_0,0)$，于是 $\overrightarrow{AE}=\left(x_0,-2\sqrt 2\right)$，于是

$$AD:x_0x-2\sqrt 2y+8=0,$$ 因此 $D\left(-\dfrac 8{x_0},0\right)$，进而 $G\left(\dfrac 8{x_0},0\right)$，于是直线 $QG$ 与直线 $l$ 重合，与椭圆 $C$ 一定有唯一的公共点 $Q$．