设函数 f(x)=ax−(1+a2)x2,其中 a>0,区间 I={x∣f(x)>0}.
1、求 I 的长度(注:区间 (α,β) 的长度定义为 β−α).
2、给定常数 k∈(0,1),当 1−k⩽ 时,求 I 长度的最小值.
解析
1、本题考查一元二次不等式的解法,分解因式后写出解集计算即可. 根据题意,有\begin{split} I&=\{x\mid f(x)>0\}\\ &=\{x\mid ax-(1+a^2)x^2>0\}\\ &=\{x\mid x(a-(1+a^2)x)>0\}\\ &=\left(0,\dfrac{a}{1+a^2}\right),\end{split} 因此区间 I 的长度为 \dfrac{a}{1+a^2}.
2、本题考查分式函数的最值,确定最值位置后进行大小比较是解决问题的关键. 根据题意,有 I 的长度d(a)=\dfrac{a}{1+a^2}=\dfrac{1}{a+\dfrac 1a},因此 d(a) 在 a\in [1-k,1) 上单调递增,在 a\in(1,1+k] 上单调递减,因此 d(a) 长度的最小值\min_{a\in [1-k,1+k]}d(a)=\min\{d(1-k),d(1+k)\},考虑到\dfrac{d(1-k)}{d(1+k)}=\dfrac{\dfrac{1-k}{1+(1-k)^2}}{\dfrac{1+k}{1+(1+k)^2}}=\dfrac{2-k^2-k^3}{2-k^2+k^3}<1,于是所求最小值为 d(1-k)=\dfrac{1-k}{2-2k+k^2}.