每日一题[2777]切线方程

椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $B$，右顶点为 $A$，右焦点为 $F$，且 $\dfrac{|B F|}{|A B|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．

1、求椭圆的离心率 $e$．

2、已知直线 $l$ 与椭圆有唯一公共点 $M$，直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $N$（异于 $M$），若 $|O M|=|O N|$ 且 ${\triangle M O N}$ 的面积 $\sqrt{3}$，求椭圆的标准方程． 

解析

1、根据题意，有 $$\dfrac{|B F|}{|A B|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\iff \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{\sqrt 3}2\iff \dfrac ba=\dfrac{1}{\sqrt 3},$$ 因此椭圆的离心率 $$e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 6}3.$$

2、根据题意，设椭圆方程为 $x^2+3y^2=a^2$，不妨设 $M\left(a\cos\theta,\dfrac{a\sin\theta}{\sqrt 3}\right)$，其中 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$．根据直线 $l$ 与椭圆相切于点 $M$，可得 $$l:a\cos\theta \cdot x+\sqrt 3a\sin\theta\cdot y=a^2,$$ 因此 $N\left(0,\dfrac{a}{\sqrt 3\sin\theta}\right)$，于是 $$\begin{cases} |OM|=|ON|,\\ [\triangle MON]=\sqrt 3,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2\cos^2\theta+\dfrac{a^2\sin^2\theta}{3}=\dfrac{a^2}{3\sin^2\theta}\\ \dfrac 12a\cos\theta\left(\dfrac{a}{\sqrt 3\sin\theta}-\dfrac{a\sin\theta}{\sqrt 3}\right)=\sqrt 3,\end{cases}$$ 由第一个个方程解得 $\theta=\dfrac{\pi}4$，代入第二个方程解得 $a^2=6$，因此椭圆的标准方程为 $\dfrac{x^{2}}{6}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$．