每日一题[2775]化齐次联立

如图，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \left(a > b > 0\right)$ 经过点 $P\left( {1,\dfrac{3}{2}} \right)$，离心率 $e = \dfrac{1}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $x = 4$．

1、求椭圆 $C$ 的方程．

2、$AB$ 是经过右焦点 $F$ 的任一弦（不经过点 $P$），设直线 $AB$ 与直线 $l$ 相交于点 $M$，记 $PA,PB,PM$ 的斜率分别为 ${k_1},{k_2},{k_3}$．问：是否存在常数 $\lambda$，使得 ${k_1} + {k_2} = \lambda {k_3}$？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由．

解析

1、根据题意，有

$$\begin{cases} \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{9}{{4{b^2}}} = 1,\\ \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac 12,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=4,\\ b^2=3,\end{cases}$$ 于是所求椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$．

2、作平移变换 $x=x'+1$，$y=y'+\dfrac 32$，则椭圆方程变为

$$\dfrac{(x'+1)^2}{4}+\dfrac{\left(y'+\dfrac 32\right)^2}3=1\iff \dfrac 14x'^2+\dfrac 13y'^2+\dfrac 12x'+y'=0,$$ 设直线 $A'B':mx'+n\left(y'+\dfrac 32\right)=0$，与椭圆 $C'$ 方程化齐次联立可得 $$\dfrac 13y'^2+\left(\dfrac 12x'+y'\right)\cdot \dfrac{mx'+ny'}{-\dfrac 32n}+\dfrac 14x'^2=0,$$ 于是 $$k_1+k_2=-1-\dfrac {2m}n,$$ 与 $l':x'=3$ 化齐次联立可得 $$mx'+ny'+n\cdot \dfrac 32\cdot \dfrac {x'}3=0,$$ 于是 $$k_3=-\dfrac 12-\dfrac mn,$$ 因此 $k_1+k_2=2k_3$，即存在常数 $\lambda = 2$ 符合题意．