每日一题[2773]天平两端

已知 $a > 0$，函数 $f\left(x\right) = \left| {\dfrac{x - a}{x + 2a}} \right|$． 

1、记 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[ {0,4} \right]$ 上的最大值为 $g\left(a\right)$，求 $g\left(a\right)$ 的表达式．

2、是否存在 $a$，使函数 $y = f\left(x\right)$ 在区间 $\left( {0,4} \right)$ 内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

解析

1、根据题意，有 $$f\left(x\right) =\begin{cases} \dfrac{a-x}{x + 2a},& 0 \leqslant x \leqslant a,\\ \dfrac{x-a}{x + 2a},&x\geqslant a,\end{cases}$$ 因此 $$f'(x)=\begin{cases} \dfrac{-3a}{(x+2a)^2},&x\in (0,a),\\ \dfrac{3a}{(x+2a)^2},&x\in (a,+\infty),\end{cases}$$ 于是 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,a\right)$ 上单调递减；在 $\left(a,+\infty\right)$ 上单调递增．

情形一     $a \geqslant 4$．此时 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,4\right)$ 上单调递减，$g\left(a\right)=f\left(0\right) = \dfrac{1}{2}$．

情形二    当 $0< a < 4$．此时 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,a\right)$ 上单调递减，在 $\left(a,4\right)$ 上单调递增，所以 $$g\left(a\right)=\max \left\{f\left(0\right),f\left(4\right)\right\}.$$ 而 $$f\left(0\right)-f\left(4\right)=\dfrac 1 2 -\dfrac {4-a} {4+2a} = \dfrac {a-1} {2+a} ,$$ 故 $$g\left(a\right) = \begin{cases} \dfrac {4-a} {4+2a} ,&a\in (0,1],\\ \dfrac 1 2 , &a\in (1,+\infty). \end{cases}$$

2、由第 $(1)$ 小题的结论知，当 $a \geqslant 4$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left(0,4\right)$ 上单调递减，故不满足要求．当 $0< a < 4$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left(0,a\right)$ 上单调递减，在 $\left(a,4\right)$ 上单调递增．若存在 $x_1,x_2 \in \left(0,4\right)$（$x_1<x_2$）使曲线 $y =f\left(x\right)$ 在 $\left({x_1},f\left(x_1\right)\right),\left({x_2},f\left({x_2}\right)\right)$ 两点处的切线互相垂直，则 $$x_1 \in \left(0,a\right) ,\quad x_2 \in \left(a,4\right),$$ 且 $$f'\left(x_1\right) \cdot f'\left(x_2\right)=-1\iff \dfrac {-3a} {\left(x_1+2a\right)^2} \cdot \dfrac { 3a} {\left(x_2+2a\right)^2} =-1\iff x_1+2a = \dfrac {3a} {x_2+2a} .$$ 由 $x_1 \in \left(0,a\right)$，$x_2 \in \left(a,4\right)$ 得 $$x_1+2a \in \left(2a,3a\right) ,\quad \dfrac { 3a} {x_2+2a} \in \left( \dfrac {3a} {4+2a} ,1\right),$$ 故集合 $A=\left\{x \mid 2a < x < 3a \right\}$ 与集合 $B=\left\{x \mid \dfrac {3a} {4+2a} < x < 1 \right\}$ 的交集非空．因为 $\dfrac {3a} {4+2a} < 3a$，所以当且仅当 $0 < 2a <1$，即 $0<a<\dfrac 1 2$ 时，$A \cap B \ne \varnothing$． 综上所述，存在 $a$ 使函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left(0,4\right)$ 内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 1 2 \right)$．