每日一题[2772]平均性质

过抛物线 $E:{x^2} = 2py$（$p > 0$）的焦点 $F$ 作斜率分别为 ${k_1},{k_2}$ 的两条不同的直线 ${l_1},{l_2}$，且 ${k_1} + {k_2} = 2$，${l_1}$ 与 $E$ 相交于点 $A , B$，${l_2}$ 与 $E$ 相交于点 $C ,D$．以 $AB,CD$ 为直径的圆 $M , N$（$M,N$ 为圆心）的公共弦所在的直线记为 $l$．

1、若 ${k_1} > 0$，${k_2} > 0$，证明；$\overrightarrow {FM} \cdot \overrightarrow {FN} < 2{p^2}$．

2、若点 $M$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\dfrac{7\sqrt 5 }{5}$，求抛物线 $E$ 的方程．

解析

1、设 $A(2pa,2pa^2)$，$B(2pb,2pb^2)$，$C(2pc,2pc^2)$，$D(2pd,2pd^2)$，则 $M(p(a+b),p(a^2+b^2))$，$N(p(c+d),p(c^2+d^2))$，且

$$k_1=a+b,\quad k_2=c+d,$$ 而根据抛物线的平均性质，有 $$2pab=-\dfrac p2,\quad 2pcd=-\dfrac p2,$$ 即 $$ab=cd=-\dfrac14,$$ 因此 $$\begin{split}\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}&=\left(p\left(a+b\right),p\left(a^2+b^2-\dfrac 12\right)\right)\cdot \left(p\left(c+d\right),p\left(c^2+d^2-\dfrac 12\right)\right)\\ &=\left(p\left(a+b\right),p\left(a+b\right)^2\right)\cdot \left(p\left(c+d\right),p\left(c+d\right)^2\right)\\ &=p^2\left(k_1k_2+k_1^2k_2^2\right)\\ &=p^2\left(1-k^2+(1-k^2)^2\right)\\ &=p^2\left(2-3k^2+k^4\right)\\ &\leqslant 2p^2,\end{split}$$ 其中 $k_1=1+k$，$k_2=1-k$，$k\in (-1,1)$．因此原命题得证．

2、根据抛物线的定义，圆 $M$ 的直径为

$$\left(2pa^2+\dfrac p2\right)+\left(2pb^2+\dfrac p2\right)=2p(a+b)^2+2p=2pk_1^2+2p,$$ 于是圆 $M$ 的方程为 $$(x-pk_1)^2+\left(y-pk_1^2-\dfrac p2\right)^2=\left(pk_1^2+p\right)^2,$$ 同理可得圆 $N$ 的方程为 $$(x-pk_2)^2+\left(y-pk_2^2-\dfrac p2\right)^2=\left(pk_2^2+p\right)^2,$$ 因此直线 $l$ 的方程为 $$(2x-p(k_1+k_2))\cdot p(k_1-k_2)+\left(2y-p(k_1^2+k_2^2)-p\right)\cdot p(k_1^2-k_2^2)=p^2\left(k_1^2+k_2^2+2\right)\cdot \left(k_1^2-k_2^2\right),$$ 即 $$x+2y=0,$$ 因此点 $M$ 到直线 $l$ 的距离 $$d=\dfrac{\left|pk_1+2\left(pk_1^2+\dfrac p2\right)\right|}{\sqrt 5}=\dfrac{p}{\sqrt 5}\left|2k_1^2+k_1+1\right|\geqslant \dfrac p{\sqrt 5}\cdot \dfrac 78,$$ 等号当 $k_1=-\dfrac 14$ 时取得，因此 $d$ 的最小值为 $\dfrac{7p}{8\sqrt 5}$，解得 $p=8$，因此抛物线 $E$ 的方程为 $x^2=16y$．