在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，将从点 $ M $ 出发沿纵、横方向到达点 $ N $ 的任一路径称为 $ M $ 到 $ N $ 的一条 $ L $ 路径．如图所示的路径 $M{M_1}M{}_2{M_3}N$ 与路径 $M{N_1}N$ 都是 $ M $ 到 $ N $ 的“$ L $ 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面 $ xOy $ 内三点 $A\left(3,20\right)$，$B\left( - 10,0\right)$，$C\left(14,0\right)$ 处．现计划在 $ x $ 轴上方区域（包含 $ x $ 轴）内的某一点 $ P $ 处修建一个文化中心．
1、写出点 $ P $ 到居民区 $ A $ 的 $ L $ 路径长度最小值的表达式（不要求证明）．
2、若以原点 $ O $ 为圆心，半径为 $ 1 $ 的圆的内部是保护区，$ L $ 路径不能进入保护区，请确定点 $ P $ 的位置，使其到三个居民区的 $ L $ 路径长度之和最小．
解析
1、设点 $ P $ 的坐标为 $ \left(x,y\right) $，点 $ P $ 到居民区 $ A $ 的 $ L $ 路径长度最小值为 $ |x - 3| + |y - 20|$（$y \geqslant 0$，$x \in {\mathbb{R}}$）．
2、设 $P(x,y)$，则点 $P$ 到 $A,B,C$ 三点的 $L$ 路径长度之和\[\begin{split} d&=\left(|x-3|+|y-20|\right)+\left(|x+10|+|y|\right)+\left(|x-14|+|y|\right)\\ &=|x-3|+\big(|x+10|+|x-14|\big)+|y|+\big(|y-20|+|y|\big)\\ &\geqslant |x-3|+24+|y|+20\\ &=|x-3|+y+44 ,\end{split}\]等号当 $-10\leqslant x\leqslant 14$ 且 $0\leqslant y\leqslant 20$ 时取得．由于 $L$ 路径不能进入保护区，因此 $y\geqslant 1$．从而有\[d\geqslant |x-3|+y+44\geqslant 55,\]等号当 $x=3$ 且 $y=1$，即 $P(3,1)$ 时取得，因此长度之和的最小值为 $55$．
