在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径称为 M 到 N 的一条 L 路径.如图所示的路径 MM1M2M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面 xOy 内三点 A(3,20),B(−10,0),C(14,0) 处.现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某一点 P 处修建一个文化中心.
1、写出点 P 到居民区 A 的 L 路径长度最小值的表达式(不要求证明).
2、若以原点 O 为圆心,半径为 1 的圆的内部是保护区,L 路径不能进入保护区,请确定点 P 的位置,使其到三个居民区的 L 路径长度之和最小.
解析
1、设点 P 的坐标为 (x,y),点 P 到居民区 A 的 L 路径长度最小值为 |x−3|+|y−20|(y⩾,x \in {\mathbb{R}}).
2、设 P(x,y),则点 P 到 A,B,C 三点的 L 路径长度之和\begin{split} d&=\left(|x-3|+|y-20|\right)+\left(|x+10|+|y|\right)+\left(|x-14|+|y|\right)\\ &=|x-3|+\big(|x+10|+|x-14|\big)+|y|+\big(|y-20|+|y|\big)\\ &\geqslant |x-3|+24+|y|+20\\ &=|x-3|+y+44 ,\end{split}等号当 -10\leqslant x\leqslant 14 且 0\leqslant y\leqslant 20 时取得.由于 L 路径不能进入保护区,因此 y\geqslant 1.从而有d\geqslant |x-3|+y+44\geqslant 55,等号当 x=3 且 y=1,即 P(3,1) 时取得,因此长度之和的最小值为 55.