每日一题[2770]折线距离

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，将从点 $M$ 出发沿纵、横方向到达点 $N$ 的任一路径称为 $M$ 到 $N$ 的一条 $L$ 路径．如图所示的路径 $M{M_1}M{}_2{M_3}N$ 与路径 $M{N_1}N$ 都是 $M$ 到 $N$ 的“$L$ 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面 $xOy$ 内三点 $A\left(3,20\right)$，$B\left( - 10,0\right)$，$C\left(14,0\right)$ 处．现计划在 $x$ 轴上方区域（包含 $x$ 轴）内的某一点 $P$ 处修建一个文化中心．

1、写出点 $P$ 到居民区 $A$ 的 $L$ 路径长度最小值的表达式（不要求证明）．

2、若以原点 $O$ 为圆心，半径为 $1$ 的圆的内部是保护区，$L$ 路径不能进入保护区，请确定点 $P$ 的位置，使其到三个居民区的 $L$ 路径长度之和最小．

解析

1、设点 $P$ 的坐标为 $\left(x,y\right)$，点 $P$ 到居民区 $A$ 的 $L$ 路径长度最小值为 $|x - 3| + |y - 20|$（$y \geqslant 0$，$x \in {\mathbb{R}}$）．

2、设 $P(x,y)$，则点 $P$ 到 $A,B,C$ 三点的 $L$ 路径长度之和

$$\begin{split} d&=\left(|x-3|+|y-20|\right)+\left(|x+10|+|y|\right)+\left(|x-14|+|y|\right)\\ &=|x-3|+\big(|x+10|+|x-14|\big)+|y|+\big(|y-20|+|y|\big)\\ &\geqslant |x-3|+24+|y|+20\\ &=|x-3|+y+44 ,\end{split}$$ 等号当 $-10\leqslant x\leqslant 14$ 且 $0\leqslant y\leqslant 20$ 时取得．由于 $L$ 路径不能进入保护区，因此 $y\geqslant 1$．从而有 $$d\geqslant |x-3|+y+44\geqslant 55,$$ 等号当 $x=3$ 且 $y=1$，即 $P(3,1)$ 时取得，因此长度之和的最小值为 $55$．