每日一题[2764]拼积木

如图，在四棱柱 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中，侧棱 $A{A_1} \perp ABCD$，$AB\parallel DC$，$A{A_1} = 1$，$AB = 3k$，$AD = 4k$，$BC = 5k$，$DC = 6k$（$k > 0$）．

1、求证：$CD \perp AD{D_1}{A_1}$．

2、若直线 $A{A_1}$ 与平面 $A{B_1}C$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{6}{7}$，求 $k$ 的值．

3、现将与四棱柱 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 $f\left( k \right)$，写出 $f\left( k \right)$ 的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）

解析

1、在平面 $ADD_1A_1$ 中，找到两条均与 $CD$ 垂直的相交直线即可．取 $CD$ 的中点 $E$，连接 $BE$．如图．

因为 $AB\parallel DE$，$AB = DE = 3k$，所以四边形 $ABED$ 为平行四边形，所以 $BE\parallel AD$ 且

$$BE = AD = 4k.$$ 在 $\triangle BCE$ 中，$BE = 4k$，$CE = 3k$，$BC = 5k$，所以 $$B{E^2} + C{E^2} = B{C^2},$$ 所以 $\angle BEC = 90^\circ$，即 $BE \perp CD$．因为 $BE\parallel AD$，所以 $CD \perp AD$．因为 $A{A_1} \perp ABCD$，$CD \subset ABCD$，因为 $A{A_1} \perp CD$，又 $A{A_1} \cap AD = A$，因此 $CD \perp AD{D_1}{A_1}$．

2、建立空间直角坐标系 $D-ACD_1$，如图．

根据题意，有

$$\begin{cases} {A_1}\left( {4k,0,1} \right),\\ A\left( {4k,0,0} \right),\\ {B_1}\left( {4k,3k,1} \right),\\ C\left( {0,6k,0} \right),\end{cases}\implies \begin{cases} \overrightarrow{A_1A}=(0,0,-1),\\ \overrightarrow n_{AB_1C}=(3,2,-6k),\end{cases}$$ 所以 $A{A_1}$ 与平面 $A{B_1}C$ 所成角 $\theta$ 满足 $$\sin \theta = \dfrac{\left|\overrightarrow {A_1A}\cdot \overrightarrow n_{AB_1C}\right|}{\left|\overrightarrow{A_1A}\right|\cdot \left|\overrightarrow{A_1A}\right|}=\dfrac{|6k|}{\sqrt{13+36k^2}}=\dfrac 67,$$ 解得 $k = 1$．

3、拼接面可以是 $ABB_1A_1,BCC_1B_1,ADD_1A_1,ABCD$，它们的面积分别为

$$3k,5k,4k,18k^2,$$ 而四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的表面积为 $36k^2+18k$，因此它们拼接后的四棱柱的表面积分别为 $$72k^2+30k,72k^2+26k,72k^2+28k,36k^2+36k,$$ 其中最小的表面积 $$f(k)=\begin{cases} 72k^2+26k,&k\in\left(0,\dfrac{5}{18}\right],\\ 36k^2+36k,&k\in\left(\dfrac5{18},+\infty\right).\end{cases}$$