每日一题[2760]剖分求角

如图，$A,B,C,D$ 为平面四边形 $ABCD$ 的四个内角．

1、证明：$\tan \dfrac{A}{2}=\dfrac{1-\cos A}{\sin A}$．

2、若 $A+C=180^\circ$，$AB=6$，$BC=3$，$CD=4$，$AD=5$，求 $\tan {\dfrac A2}+\tan\dfrac{B}{2}+\tan{\dfrac C2}+\tan{\dfrac D2}$ 的值．

解析

1、根据题意，有\[\dfrac{1-\cos A}{\sin A}=\dfrac{1-\left(1-2\sin^2\dfrac A2\right)}{2\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2}=\dfrac{\sin\dfrac A2}{\cos\dfrac A2}=\tan\dfrac A2.\]

2、设所求代数式为 $m$，有\[\begin{split}m&=\tan{\dfrac A2}+\tan{\dfrac B2}+\tan{\dfrac C2}+\tan{\dfrac D2} \\ &=\dfrac{1-\cos A}{\sin A}+\dfrac{1-\cos B}{\sin{B}}+\dfrac{1-\cos\left(180^\circ-A\right)}{\sin\left(180^\circ-A\right)}+\dfrac{1-\cos\left(180^\circ-B\right)}{\sin\left(180^\circ-B\right)} \\&=\dfrac2{\sin A}+\dfrac2{\sin{B}}.\end{split}\]如图，连接 $BD$．

在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle BCD$ 中分别应用余弦定理，有\[\begin{cases} BD^2 =AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cos A.\\ BD^2=BC^2+CD^2-2BC\cdot CD\cos C,\end{cases}\]又因为 $A+C=180^\circ$，所以\[\begin{split}\cos A&=\dfrac{AB^2+AD^2-BC^2-CD^2}{2\left(AB\cdot AD+BC\cdot CD\right)}\\&=\dfrac{6^2+5^2-3^2-4^2}{2\left(6\cdot 5+3\cdot 4\right)}\\&=\dfrac37 ,\end{split}\]于是 $\sin A= \dfrac{2\sqrt{10}}{7}$．连接 $AC$，同理可得 $\sin B=\dfrac{6\sqrt{10}}{19} $．所以\[\tan{\dfrac A2}+\tan{\dfrac B2}+\tan{\dfrac C2}+\tan{\dfrac D2} =\dfrac{2}{\sin A}+\dfrac{2}{\sin B}=\dfrac{2\cdot 7}{2\sqrt{10}}+\dfrac{2\cdot 19}{6\sqrt{10}}=\dfrac{4\sqrt{10}}{3}.\]