每日一题[2758]逐步调整

已知 $a,b,c$ 为正整数，$f(x)=(1+x)^{a}+(1+x)^{b}+(1+x)^{c}$，其中 $x$ 的系数为 $10$，则 $x^{2}$ 的系数的最大可能值与最小可能值之和为（       ）

A．$36$

B．$37$

C．$38$

D．前三个答案都不对

答案    D．

解析    根据题意，$f(x)$ 中 $x$ 的系数为 $a+b+c=10$，而 $x^2$ 的系数为

$$\mathop{\rm C}\nolimits_a^2+\mathop{\rm C}\nolimits_b^2+\mathop{\rm C}\nolimits_c^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2-(a+b+c)}2=\dfrac12(a^2+b^2+c^2)-5.$$ 不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$．若 $a-c\geqslant 2$，则将 $(a,c)$ 调整为 $(a-1,c+1)$，则 $$\big(a^2+c^2\big)-\big((a-1)^2+(c+1)^2\big)=2(a-c-1)\geqslant 2,$$ 因此 $a^2+b^2+c^2$ 最小时，有 $a-c\leqslant 1$，即 $(a,b,c)=(4,3,3)$，因此 $a^2+b^2+c^2$ 的最小值为 $34$． 若 $b\geqslant 2$，则将 $(a,b)$ 调整为 $(a+1,b-1)$，则 $$\big((a+1)^2+(b-1)^2\big)-(a^2+b^2)=2(a-b+1)\geqslant 4,$$ 因此 $a^2+b^2+c^2$ 最大时，有 $b\leqslant 1$，即 $(a,b,c)=(8,1,1)$，因此 $a^2+b^2+c^2$ 的最大值为 $66$．

综上所述，$x^2$ 系数的最大可能值和最小可能值之和为 $\dfrac{34+66}2-10=40$．