每日一题[2756]十字歇山

如图，十字歇山是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面形状为顶角为 $120^\circ$，腰为 $3$ 的等腰三角形，则该几何体的体积为（       ）

A．$23$

B．$24$

C．$26$

D．$27$

答案    D．

解析    记直三棱柱的底面的腰长 $a=3$，将形体补为底面边长为 $\sqrt 3a$，高为 $\dfrac 12a$ 的正四棱柱，则需要去掉的部分为 $4$ 个全等的底面是边长为 $\dfrac{\sqrt 3}2a$，高为 $\dfrac 12a$ 的四棱锥，其体积为整体正四棱柱的 $\dfrac 13$，因此所求体积为

$$\dfrac 23\cdot \left(\sqrt 3a\right)^2\cdot \dfrac 12a=a^3=27.$$