每日一题[2749]封闭集合

对于 $n$ 元集合 $A$，定义 $A$ 的子集族 $M(A)=\{X\mid X\subseteq A\}$．若 $M(A)$ 的子集 $P$ 满足：对任意 $X_1,X_2\in P$，$X_1\cap X_2\in P$ 且 $X_1\cup X_2\in P$，且 $\varnothing,A\in P$，则称 $P$ 对交并运算封闭．那么对 $A=\{a,b,c\}$，满足 $\{a,b\}\in P$ 且对交并运算封闭的集合 $P$ 的个数为（       ）

A．$8$

B．$10$

C．$12$

D．前三个答案都不对

答案    C．

解析    将 $P$ 的所有元素都取关于 $A$ 的补集得到 $P'$，则 $P'$ 也对交并封闭．只需要考虑 $\{c\}\in P$ 的情形．此时

① $\{a\},\{b\}$ 同时在 $P$ 中，则 $\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\in P$，有 $1$ 种情况；

② $\{a\},\{b\}$ 只有一个在 $P$ 中，设为 $\{a\}$，则 $\{a,c\}\in P$，此时 $\{b,c\},\{a,b\}$ 可以任选进入 $P$ 中，有 $2\cdot 2^2=8$ 种情况；

③ $\{a\},\{b\}$ 均不在 $P$ 中，此时 $\{a,c\},\{b,c\}$ 可以任选进入 $P$ 但不能同时进入 $P$，有 $3$ 种情况．

综上所述，所求满足题意的集合 $P$ 的个数为 $12$．