从 1,2,⋯,2018 中取 k 个不同的数，其中任意 2 个数的商不等于 32，那么 k 的最大值为_______．
答案 1514．
解析 任何一个正整数必然可以写成 2p⋅3q⋅r 的形式，其中 2∤，3\nmid r 且 p,q\in \mathbb N，r\in\mathbb N^{\ast}．按每个正整数对应的 (p,q) 做分划，有\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\hline p/q&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline 0&1,5,7,\cdots&3,15,21,\cdots&9,45,63,\cdots&27,135,189,\cdots&81,405,567,\cdots&243,1215,1701&729\\ \hline 1&2,10,14,\cdots&6,30,42,\cdots&18,90,126,\cdots&54,270,378,\cdots&\cdots&\cdots&1458\\ \hline 2&4,20,28,\cdots&12,60,84,\cdots&36,180,252,\cdots&\cdots&\cdots&\cdots& \\ \hline 3&8,40,56,\cdots&24,120,168,\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\\ \hline 4&16,80,112,\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\\ \hline 5&32,160,224,\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\\ \hline 6&64,320,448,\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\\ \hline 7&128,640,896,\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\\ \hline 8&256,1280,1792&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\\ \hline 9&512&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\\ \hline 10&1024&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\\ \hline \end{array} 设 x>y 且 x,y\in\{1,2,\cdots,2018\}，则 \dfrac xy=\dfrac 32 等价于 x,y 位于 p+q 的值相等的相邻斜格．下面证明 k 的最大值为 1514．记 N(p,q) 为 (p,q) 对应的格子中的元素个数．
构造 去掉 q=1,3,5 列中的所有格子里的元素，剩下的元素符合题意．考虑到 q 列格子元素个数之和T_q=\sum_{p=0,1,\cdots,10}N(p,q)=\left\lfloor\dfrac{2018}{3^q}\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{2018}{3^{q+1}}\right\rfloor,而\begin{array}{c|ccccccc}\hline q&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline \left\lfloor\dfrac{2018}{3^q}\right\rfloor&2018&672&224&74&24&8&2\\ \hline \left\lfloor\dfrac{2018}{3^q}\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{2018}{3^{q+1}}\right\rfloor&1346&448&150&50&16&6&2\\ \hline\end{array} 此时元素个数之和为\sum_{q=0,2,4,6}T_q=2+16+150+1346=1514.
论证 考虑 p+q=m（m=0,1,2,\cdots,10）的斜格，记为斜格组U_m:(0,m),(1,m-1),\cdots,(m,0),每个斜格组中的数可以写成 N(0,m) 个数链，如 m=3 的情形，有\begin{split} &8,12,18,27;\\ &40,60,90,135;\\ &56,84,126,189;\\ &\cdots, \end{split}长度为 l 的数链中至多取 \left\lceil \dfrac l2\right\rceil 个数，因此至少要去掉的元素个数为\sum_{q=1,3,5}T_q=504. 综合所述，k 的最大值为 1514．
备注 长度为奇数的数链取数方法是唯一的，长度为 2n 的数链取数方法有 n+1 种，因此可以在此基础上思考最大集合的个数．长度为 l 的数链个数 n(l) 分别为\begin{array}{c|ccccccc}\hline l&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline n(l)&898&298&100&34&10&4&2\\ \hline\end{array}因此所求最大集合的个数为 2^{298}\cdot 3^{34}\cdot 4^4．