每日一题[2746]孤勇者

已知集合 $S=\{0,1,2,3,4,5\}$，$A$ 是 $S$ 的一个子集，当 $x\in A$ 时，若有 $x-1\notin A$ 且 $x+1\notin A$，则称 $x$ 为 $A$ 的一个孤立元素，则 $S$ 的非空子集中，没有孤立元素的个数为（       ）

A．$17$

B．$18$

C．$19$

D．$20$

答案    D．

解析    定义连续的不小于 $2$ 个整数的最长排列称为数链，则 $S$ 中只包含 $1$ 个数链的非空子集有 $\dbinom 62=15$（从 $6$ 个数中确定起止位置）个．

$S$ 中包含 $2$ 个数链的情况有

① 去掉 $2$ 或 $3$ 或 $4$；

② 去掉 $2,3$； ③ 去掉 $1,3$ 或 $3,5$．

共 $5$ 种．

因此 $S$ 的非空子集中，没有孤立元素的个数为 $20$．