每日一题[2738]极限拉扯

已知凸四边形 $A B C D$ 满足：$A B=1$，$B C=2$，$C D=4$，$D A=3$，则其内切圆半径（       ）

A．最小值为 $\dfrac{2\sqrt 5}5$

B．最小值为 $\dfrac{\sqrt{15}}5$

C．最大值为 $\dfrac{2\sqrt 6}5$

D．前三个答案都不对

答案   C．

解析    根据海伦公式的推广，可得四边形 $ABCD$ 的面积

$$S_{ABCD}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\dfrac{A+C}2},$$ 其中 $p$ 为四边形 $ABCD$ 的半周长 $\dfrac 12(a+b+c+d)$．这样就有凸四边形 $ABCD$ 的内切圆半径 $$r=\dfrac{S_{ABCD}}p=\dfrac{\sqrt{24-24\cos^2\dfrac{A+C}2}}{5}=\dfrac{2\sqrt 6}5\sin\dfrac{A+C}2,$$ 注意到 $A,C$ 随着 $AC$ 的增大而减小，随着 $BD$ 的增大而增大． 当 $AC\to 3$ 时，有 $$\dfrac{A+C}2=\dfrac{\pi-D}2=\dfrac{\pi-\arccos\dfrac 23}2.$$ 当 $BD\to 4$ 时，有 $$\dfrac{A+C}2=\dfrac{\pi+\arccos\dfrac 14}2.$$ 因此 $\dfrac{A+C}2$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\pi-\arccos\dfrac 23}2,\dfrac{\pi+\arccos\dfrac 14}2\right)$，进而 $\sin\dfrac{A+C}2$ 的取值范围是 $\left(\sqrt {\dfrac 58},1\right]$，所求 $r$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt{15}}5,\dfrac{2\sqrt 6}5\right]$．