每日一题[2737]奇偶分析

已知整数 $a,b,c,d$ 满足 $a+b+c+d=6$，则 $$a b+a c+a d+b c+b d+c d$$ 的正整数取值个数为（       ）

A．$9$

B．$10$

C．$11$

D．前三个答案都不对

答案    B．

解析    设 $m=a b+a c+a d+b c+b d+c d$，则 $$m=\dfrac{(a+b+c+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2)}2=18-\dfrac 12n,$$ 其中 $n=a^2+b^2+c^2+d^2$，因此问题转化为 $n$ 的小于 $36$ 的不同取值的个数．

情形一     $a,b,c,d$ 均为偶数．此时令 $(a,b,c,d)=(2a',2b',2c',2d')$，则 $$a'^2+b'^2+c'^2+d'^2\equiv a'+b'+c'+d'=3\equiv 1\pmod 2,$$ 因此 $n\equiv 4\pmod 8$．

情形二     $a,b,c,d$ 均为奇数．此时令 $(a,b,c,d)=(a'+1,b'+1,c'+1,d'+1)$，则 $a',b',c',d'$ 均为偶数，且 $$a'+b'+c'+d'=2,$$ 而 $$n=a'^2+b'^2+c'^2+d'^2+2(a'+b'+c'+d')+4=a'^2+b'^2+c'^2+d'^2+8,$$ 根据情形一的结论，有 $n\equiv 4\pmod 8$．

情形三    $a,b,c,d$ 中 $2$ 个奇数 $2$ 个偶数，不妨设 $a,b$ 为偶数，$c,d$ 为奇数，设 $(a,b,c,d)=(2a',2b',2c'+1,2d'+1)$，则 $$a'+b'+c'+d'=2,$$ 而 $$n=4(a'^2+b'^2+c'^2+d'^2)+4(c'+d')+2,$$ 因此 $n\equiv 2\pmod 4$．

综上所述，$n\equiv 2,4,6\pmod 8$．注意到 $$n=a^2+b^2+c^2+d^2\geqslant \dfrac{(a+b+c+d)^2}4=9,$$ 接下来说明 $n$ 可以取得从 $9$ 到 $35$ 的所有模 $8$ 余 $2,4,6$ 的数，列举如下 $$\begin{array}{cccc|c} \hline a &b & c& d & n \\ \hline 1 & 1 & 2 & 2 & 10 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 3 & 12 \\ \hline 0 & 1 & 2 & 3 & 14 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 4 & 18 \\ \hline 0 & 0 & 2 & 4 & 20 \\ \hline -1& 1 & 2 & 4 & 22 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 5 & 26 \\ \hline -1 & 1 & 1 & 5 & 28 \\ \hline -1 & 0 & 2 & 5 & 30 \\ \hline -2 & 1 & 2 & 5 & 34 \\ \hline & & & & \end{array}$$ 因此所求取值个数为 $10$．