每日一题[2735]反向推理

已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的整数，如 $[1.2]=1,[-1.2]=-2$，已知 $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$，则 $\left[\alpha^{12}\right]=$（        ）

A．$321$

B．$322$

C．$323$

D．前三个答案都不对

答案    A．

解析    记 $\beta=\dfrac{1-\sqrt 5}2$，$x_n=\alpha^n+\beta^n$，则其对应的递推公式为

$$x_{n+2}=(\alpha+\beta)x_{n+1}-(\alpha\beta)x_n\iff x_{n+2}=x_{n+1}+x_n,$$ 这样就有 $$\begin{array}{c|cccccccccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline x_n&1&3&4&7&11&18&29&47&76&123&199&322\\ \hline\end{array}$$ 而 $\beta^{12}\in (0,1)$，于是 $$\left[\alpha^{12}\right]=x_{12}-1=321.$$