每日一题[2734]逐步试探

已知 $2 n+1$ 与 $3 n+1$ 均为完全平方数且 $n$ 不超过 $2022$，则正整数 $n$ 的个数为（       ）

A．$0$

B．$1$

C．$2$

D．前三个答案都不对

答案    B．

解析    设 $2n+1=x^2$，$3n+1=(x+m)^2$，其中 $x,m\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $x\leqslant 63$，则 $$3x^2-2(x+m)^2=1\iff x^2-4mx-2m^2-1=0\iff x=2m+\sqrt{6m^2+1},$$ 而 $2m+\sqrt{6m^2+1}>4m$，于是 $m\leqslant 16$．考虑到 $6m^2+1\equiv 1\pmod 6$，因此 $6m^2+1=(6t\pm 1)^2$（$t\in\mathbb N^{\ast}$），整理得 $$m^2=6t^2\pm 2t,$$ 因此只有解 $(m,t)=(2,1)$，进而 $x=9$，$n=40$，所求正整数 $n$ 只有 $1$ 个．