已知正整数 $n$ 不超过 $2022$ 且满足 $100$ 整除 $2^{n}+n$，则这样的 $n$ 的个数为（ ）
A．$19$
B．$20$
C．$21$
D．前三个答案都不对
答案 B．
解析 根据题意，有 $4\mid 2^n+n$ 且 $25\mid 2^n+n$．显然 $n\geqslant 2$，于是 $4\mid 2^n$，因此 $4\mid n$，设 $n=4m$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），所以问题简化为\[25\mid 2^{4m}+4m,\]注意到 $2^4\equiv 1\pmod 5$，于是 $4m\equiv 4\pmod 5$，设 $m=5t+1$（$t\in\mathbb N$），问题简化为\[25\mid 2^{20t+4}+20t+4,\]由于 $2^{10}=1024\equiv -1\pmod {25}$，因此 $2^{20}\equiv 1\pmod {25}$，进而\[20t\equiv 5\pmod {25}\iff 4t\equiv 1\pmod 5,\]因此 $t=5s+4$（$s\in\mathbb N$）．这样就有\[n=4m=20t+4=100s+84,\]因此满足题意的 $n$ 共有 $20$ 个．