每日一题[2729]参数方程

已知圆 $C$ 的方程为 ${x^2} + {\left(y - 4\right)^2} = 4$，点 $O$ 是坐标原点，直线 $l:y = kx$ 与圆 $C$ 交于 $M,N$ 两点．

1、求 $k$ 的取值范围．

2、设 $Q\left(m,n\right)$ 是线段 $MN$ 上的点，且 $\dfrac{2}{ \left|OQ \right|^2} = \dfrac{1}{ \left|OM \right|^2} + \dfrac{1}{ \left|ON \right|^2}$，请将 $n$ 表示为 $m$ 的函数．

解析

1、根据题意，圆心 $C(0,4)$ 到直线 $l$ 的距离小于圆 $C$ 的半径 $r=2$，也即

$$\dfrac{4}{\sqrt{1+k^2}}<2,$$ 解得 $k$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\sqrt 3\right)\cup\left(\sqrt 3,+\infty\right)$．

2、设 $M,N$ 的横坐标分别为 $x_1,x_2$，则

$$\dfrac{2}{ \left|OQ \right|^2} = \dfrac{1}{ \left|OM \right|^2} + \dfrac{1}{ \left|ON \right|^2}\iff \dfrac{2}{m^2}=\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}\iff \dfrac{2}{m^2}=\dfrac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2},$$ 联立 $l:y=kx$ 与圆 $C$ 的方程，有 $$(1+k^2)x^2-8kx+12=0,$$ 于是 $$\dfrac 2{m^2}=\dfrac{(8k)^2-2\cdot 12\cdot (1+k^2)}{12^2}\iff \dfrac{2}{m^2}=\dfrac{5k^2-3}{18},$$ 而 $k=\dfrac nm$，代入整理可得 $$n=\sqrt{\dfrac{36+3m^2}5},$$ 而 $$k^2>3\iff \dfrac{n^2}{m^2}>3\iff m^2<3\land m\ne 0,$$ 因此将 $n$ 表示为 $m$ 的函数为 $$n=\dfrac{\sqrt{15m^2+180}}5,m\in\left(-\sqrt 3,\sqrt 3\right)\setminus\{0\}.$$