每日一题[2724]难两全

已知 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+\mathrm{e}^{2}=1$，则 $M=|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|$ 的最大值是（       ）

A．$2\sqrt 3$

B．$4$

C．$2\sqrt 5$

D．$5$

答案    $4$．

解析    根据题意，$a,b,c,d,e$ 中至少有两个相邻的数同号（规定 $0$ 与任何数同号），不妨设 $a,b$ 同号，且 $|a|\leqslant |b|$，则

$$\begin{split} M&=|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|\\ &\leqslant \big(|b|-|a|\big)+\big(|b|+|c|\big)+\big(|c|+|d|\big)+\big(|d|+|e|\big)+\big(|e|+|a|\big)\\ &=2\big(|b|+|c|+|d|+|e|\big)\\ &\leqslant 2\sqrt{4(b^2+c^2+d^2+e^2)}\\ &=4\sqrt{1-a^2}\\ &\leqslant 4,\end{split}$$ 等号当 $(a,b,c,d,e)=\left(0,\dfrac 12,-\dfrac 12,\dfrac 12,-\dfrac 12\right)$ 时取得，因此所求最大值为 $4$．