对于三个正整数 $a, b, c$，有 $\sqrt{a+b}, \sqrt{b+c}, \sqrt{c+a}$ 为三个连续正整数，则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 最小值为（ ）
A．$337$
B．$1297$
C．$3649$
D．$8401$
答案 B．
解析 设 $\sqrt{a+b},\sqrt{b+c},\sqrt{c+a}$ 分别为 $n-1,n,n+1$，则\[(a,b,c)=\left(\dfrac 12n^2+1,\dfrac 12n^2-2n,\dfrac 12n^2+2n\right),\]由 $b$ 为正整数，可得 $n$ 的最小值为 $6$，因此\[ a^2+b^2+c^2=\dfrac 34n^4+9n^2+1=1297.\]