每日一题[2722]连续数

对于三个正整数 $a, b, c$，有 $\sqrt{a+b}, \sqrt{b+c}, \sqrt{c+a}$ 为三个连续正整数，则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 最小值为（       ）

A．$337$

B．$1297$

C．$3649$

D．$8401$

答案    B．

解析    设 $\sqrt{a+b},\sqrt{b+c},\sqrt{c+a}$ 分别为 $n-1,n,n+1$，则

$$(a,b,c)=\left(\dfrac 12n^2+1,\dfrac 12n^2-2n,\dfrac 12n^2+2n\right),$$ 由 $b$ 为正整数，可得 $n$ 的最小值为 $6$，因此 $$a^2+b^2+c^2=\dfrac 34n^4+9n^2+1=1297.$$