每日一题[2721]分类染色

用蓝色和红色给一排 $10$ 个方格染色，连续染为蓝色的格子数（即同为蓝色的格子长度）至多为 $2$ 的染色方法种数为（       ）

A．$504$

B．$505$

C．$506$

D．$507$

答案    A．

解析    对总共 $n$ 个格子满足题意的染色方法中，以“蓝蓝”、“红蓝”、"红“结尾的染色方法分别有 $x_n,y_n,z_n$ 种，则 $z_{11}$ 为所求，且有

$$\begin{cases} x_{n+1}=y_n,\\ y_{n+1}=z_n,\\ z_{n+1}=x_n+y_n+z_n,\end{cases}\implies z_{n+1}=z_{n-2}+z_{n-1}+z_n,$$ 而 $z_1=1$，$z_2=2$，$z_3=4$，因此 $$\begin{array}{c|ccccccccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\ \hline z_n&1&2&4&7&13&24&44&81&149&274&504\\ \hline \end{array}$$