每日一题[2720]类周期函数

对于 $x \in R, f(x)$ 满足 $f(x)+f(1-x)=1$，$f(x)=2 f\left(\dfrac{x}{5}\right)$，且对于 $0 \leqslant x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant 1$，恒有 $f\left(x_{1}\right) \leqslant f\left(x_{2}\right)$，则 $f\left(\dfrac{1}{2022}\right)=$ （       ）

A．$\dfrac 18$

B．$\dfrac{1}{16}$

C．$\dfrac{1}{32}$

D．$\dfrac{1}{64}$

答案    C．

解析    在 $f(x)=2 f\left(\dfrac{x}{5}\right)$ 中令 $x=0$ 可得 $f(0)=0$，进而由 $f(x)+f(1-x)=1$ 可得 $f(1)=1$．由于 $f(0)=0$，$f(1)=1$，$f\left(\dfrac 15\right)=f\left(\dfrac 45\right)=\dfrac 12$，因此 $f(x)=\dfrac 12$，$x\in\left[\dfrac 15,\dfrac 45\right]$．进而可得 $f\left(\dfrac{x}{5^n}\right)=\dfrac{1}{2^n}f(x)$，因此有

$$f(x)=\dfrac{1}{2^n},\dfrac{1}{5^n}\leqslant x\leqslant \dfrac{4}{5^n}.$$ 综上所述，有 $f\left(\dfrac{1}{2022}\right)=\dfrac{1}{32}$．