每日一题[2715]一分为二

" $a \leqslant 0$ "是"函数 $f\left( x \right)= \left| {\left( {ax - 1} \right)x} \right|$ 在区间 $\left( {0, + \infty } \right)$ 内单调递增"的（       ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案    C．

解析    当 $a\leqslant 0$ 时，有

$$f(x)=|(-a)x+1|\cdot |x|,$$ 而 $y=|(-a)x+1|$ 是 $(0,+\infty)$ 的不减函数，$y=|x|$ 是 $(0,+\infty)$ 的单调递增函数，且函数值均恒正，因此 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增；

当 $a>0$ 时，考虑到

$$f\left(\dfrac 1a\right)=0=f(0),$$ 因此 $f(x)$ 不是 $(0,+\infty)$ 上的单调递增函数．

综上所述，" $a \leqslant 0$ "是"函数 $f\left( x \right){ = }\left| {\left( {ax - 1} \right)x} \right|$ 在区间 $\left( {0, + \infty } \right)$ 内单调递增"的充分必要条件．