每日一题[2714]链接

如图，互不相同的点 ${A_1},{A_2}, \cdots ,{A_n}, \cdots$ 和 ${B_1},{B_2}, \cdots ,{B_n}, \cdots$ 分别在角 $O$ 的两条边上，所有 ${A_n}{B_n}$ 相互平行，且所有梯形 ${A_n}{B_n}{B_{n + 1}}{A_{n + 1}}$ 的面积均相等．设 $O{A_n} = {a_n}$．若 ${a_1} = 1$，${a_2} = 2$，则数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式是_______．

答案    ${{a}_{n}}=\sqrt{3n-2}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

解析    设三角形 $OA_nB_n$ 的面积为 $S_n$，则由所有梯形 $A_nB_nB_{n+1}A_{n+1}$ 的面积均相等，可得 $\{S_n\}$ 是等差数列，且

$$\dfrac{S_{n+1}}{S_n}=\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right)^2.$$ 由 $a_1=1$，$a_2=2$ 可得 $\dfrac{S_2}{S_1}=4$，进而 $S_n=(3n-2)S_1$，因此 $$a_n=\sqrt{3n-2}a_1=\sqrt{3n-2},\quad n\in\mathbb N^{\ast}.$$