每日一题[2710]画龙点睛

如图，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \left(a > b > 0\right)$ 经过点 $P\left( {1,\dfrac{3}{2}} \right)$，离心率 $e = \dfrac{1}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $x = 4$．

1、求椭圆 $C$ 的方程．

2、$AB$ 是经过右焦点 $F$ 的任一弦（不经过点 $P$），设直线 $AB$ 与直线 $l$ 相交于点 $M$，记 $PA,PB,PM$ 的斜率分别为 ${k_1},{k_2},{k_3}$．问：是否存在常数 $\lambda$，使得 ${k_1} + {k_2} = \lambda {k_3}$？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由．

解析

1、根据题意，有

$$\begin{cases} \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{9}{{4{b^2}}} = 1,\\ \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac 12,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=4,\\ b^2=3,\end{cases}$$ 于是所求椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$．

2、法一

设 $B\left( {{x_0},{y_0}} \right)$（${x_0} \ne 1$），则直线 $FB$ 的方程为

$$y = \dfrac{y_0}{{{x_0} - 1}}\left( {x - 1} \right),$$ 令 $x = 4$，求得 $M\left( {4,\dfrac{{3{y_0}}}{{{x_0} - 1}}} \right)$，从而直线 $PM$ 的斜率为 $${k_3} = \dfrac{{2{y_0} - {x_0} + 1}}{{2\left( {{x_0} - 1} \right)}},$$ 联立 $${\begin{cases} y = \dfrac{y_0}{{{x_0} - 1}}\left( {x - 1} \right), \\ \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1, \\ \end{cases}}$$ 得 $$A\left( {\dfrac{{5{x_0} - 8}}{{2{x_0} - 5}},\dfrac{{3{y_0}}}{{2{x_0} - 5}}} \right),$$ 则直线 $PA$ 的斜率为 $${k_1} = \dfrac{{2{y_0} - 2{x_0} + 5}}{{2\left( {{x_0} - 1} \right)}},$$ 直线 $PB$ 的斜率为 $${k_2} = \dfrac{{2{y_0} - 3}}{{2\left( {{x_0} - 1} \right)}},$$ 所以 $$\begin{split} {k_1} + {k_2} &= \dfrac{{2{y_0} - 2{x_0} + 5}}{{2\left( {{x_0} - 1} \right)}} + \dfrac{{2{y_0} - 3}}{{2\left( {{x_0} - 1} \right)}} \\ & = \dfrac{{2{y_0} - {x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}} \\ & = 2{k_3},\end{split}$$ 故存在常数 $\lambda = 2$ 符合题意．

法二

如图，设直线 $PA,PB,PM$ 分别交 $x$ 轴于 $A',B',M'$．

因为点 $F$ 关于椭圆 $C$ 的极线为直线 $l$，所以

$$(ABFM)=-1.$$ 考虑线束 $PA,PB,PF,PM$，有 $$\left(A'B'FM'\right)=(ABFM)=-1,$$ 从而 $$\dfrac{1}{A'F}+\dfrac{1}{B'F}=\dfrac{2}{M'F}.$$ 设 $\dfrac{k_1}{|PF|}=\dfrac{1}{A'F}$，则 $\dfrac{k_2}{|PF|}=\dfrac{1}{B'F}$，$\dfrac{k_3}{|PF|}=\dfrac{1}{M'F}$，因此 $$k_1+k_2=2k_3.$$ 综上所述，存在常数 $\lambda = 2$ 符合题意．