每日一题[2704]构造方程

已知二次函数的图像过点 $(1,1),\left(2, \dfrac{1}{2}\right),\left(3, \dfrac{1}{3}\right)$ 和 $(4, m)$，则 $m$ 的值为（       ）

A．$\dfrac{1}{4}$

B．$-\dfrac{1}{4}$

C．$\dfrac{1}{2}$

D．前三个答案都不对

答案    C．

解析    设二次函数为 $f(x)$，则根据题意，$x=1,2,3$ 是方程

$$xf(x)-1=a(x-1)(x-2)(x-3)$$ 的三个根，于是 $$f(x)=\dfrac{a(x-1)(x-2)(x-3)+1}{x},$$ 进而 $a=\dfrac 16$，因此 $$f(4)=\dfrac {\dfrac 16\cdot 3\cdot 2\cdot 1+1}{4}=\dfrac12.$$