每日一题[2703]高次复方程

设 $n$ 是大于 $1$ 的整数．已知模长为 $1$ 的复数 $z$ 满足 $z^{n}+z+1=0$，则如下断言正确的有（       ）

A．$|z+1|=1$

B．$z$ 的实数部分为 $-\dfrac{1}{2}$

C．$n-2$ 是 $3$ 的倍数

D．满足条件的 $z$ 是唯一的

答案    ABC．

解析    根据题意，有 $$z+1=-z^n\implies |z+1|=\left|-z^n\right|\implies |z+1|=1,$$ 选项 $\boxed{A}$ 正确；

设 $z=(\theta:1)$，则 $$(n\theta:1)+(\theta:1)+1=0\implies \begin{cases} \sin(n\theta)+\sin\theta=0,\\ \cos(n\theta)+\cos\theta=1,\end{cases}$$ 由第一个条件可得 $$n\theta=2k\pi-\theta\lor n\theta=(2k+1)\pi+\theta,$$ 其中 $k\in\mathbb Z$，代入第二个条件可得 $n\theta=2k\pi-\theta$（$k\in\mathbb Z$），且 $\cos\theta=-\dfrac 12$，选项 $\boxed{B}$ 正确；

进而可得 $$n+1=\dfrac{2k\pi}{\theta}\implies n+1=\dfrac{2k\pi}{2k_0\pi\pm\dfrac{2\pi}3},$$ 也即 $$n+1=\dfrac{3k}{3k_0\pm 1},$$ 其中 $k,k_0\in\mathbb Z$，注意到 $(3k,3k_0\pm 1)=1$，于是 $k_0=0$，因此 $n+1$ 是 $3$ 的倍数，进而 $n-2$ 是 $3$ 的倍数，选项 $\boxed{C}$ 正确，选项 $\boxed{D}$ 错误．

综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 正确．