设 n 是大于 1 的整数.已知模长为 1 的复数 z 满足 zn+z+1=0,则如下断言正确的有( )
A.|z+1|=1
B.z 的实数部分为 −12
C.n−2 是 3 的倍数
D.满足条件的 z 是唯一的
答案 ABC.
解析 根据题意,有z+1=−zn⟹|z+1|=|−zn|⟹|z+1|=1,
选项 A 正确;
设 z=(θ:1),则(nθ:1)+(θ:1)+1=0⟹{sin(nθ)+sinθ=0,cos(nθ)+cosθ=1,
由第一个条件可得nθ=2kπ−θ∨nθ=(2k+1)π+θ,
其中 k∈Z,代入第二个条件可得 nθ=2kπ−θ(k∈Z),且 cosθ=−12,选项 B 正确;
进而可得n+1=2kπθ⟹n+1=2kπ2k0π±2π3,
也即n+1=3k3k0±1,
其中 k,k0∈Z,注意到 (3k,3k0±1)=1,于是 k0=0,因此 n+1 是 3 的倍数,进而 n−2 是 3 的倍数,选项 C 正确,选项 D 错误.
综上所述,选项 A B C 正确.