每日一题[2703]高次复方程

n 是大于 1 的整数.已知模长为 1 的复数 z 满足 zn+z+1=0,则如下断言正确的有(       )

A.|z+1|=1

B.z 的实数部分为 12

C.n23 的倍数

D.满足条件的 z 是唯一的

答案    ABC.

解析    根据题意,有z+1=zn|z+1|=|zn||z+1|=1,

选项 A 正确;

z=(θ:1),则(nθ:1)+(θ:1)+1=0{sin(nθ)+sinθ=0,cos(nθ)+cosθ=1,

由第一个条件可得nθ=2kπθnθ=(2k+1)π+θ,
其中 kZ,代入第二个条件可得 nθ=2kπθkZ),且 cosθ=12,选项 B 正确;

进而可得n+1=2kπθn+1=2kπ2k0π±2π3,

也即n+1=3k3k0±1,
其中 k,k0Z,注意到 (3k,3k0±1)=1,于是 k0=0,因此 n+13 的倍数,进而 n23 的倍数,选项 C 正确,选项 D 错误.

综上所述,选项 A B C 正确.

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