每日一题[2695]极坐标点驱动

已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）经过 $A\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$，$B\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$，$D\left(-\dfrac{3}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$，$E(0,1)$，$G(-1,0)$ 五个点中的三个．

1、求椭圆 $C$ 的方程．

2、直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，且与圆 $O: x^{2}+y^{2}=\dfrac{3}{4}$ 相切，证明：$\triangle P O Q$ 为直角三角形．

解析

1、根据题意，有 $A,B$ 同时在椭圆上或者同时不在椭圆上；$A,D$ 至多有一个在椭圆上，$E,G$ 至多有一个在椭圆上．因此必然有 $A,B$ 同时在椭圆上，$D$ 不在椭圆上，进而 $a>\dfrac 32$，从而 $G$ 不在椭圆上，$E$ 在椭圆上，从而可得椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}3+y^2=1$．

2、设 $P(\alpha:p)$，$Q(\beta:q)$，则由直线 $PQ$ 与圆 $O$ 相切，可得

$$\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{q^2}=\dfrac 43,$$ 而由 $P,Q$ 均在椭圆上，有 $$\begin{cases} \dfrac{p^2\cos^2\alpha}{3}+p^2\sin^2\alpha=1,\\ \dfrac{q^2\cos^2\beta}{3}+q^2\sin^2\beta=1,\end{cases}\implies \begin{cases} \dfrac{1}{p^2}=\dfrac{\cos^2\alpha}3+\sin^2\alpha,\\ \dfrac{1}{q^2}=\dfrac{\cos^2\beta}3+\sin^2\beta,\end{cases}$$ 两式相加可得 $$\dfrac 43=\dfrac {\cos^2\alpha+\cos^2\beta}3+\sin^2\alpha+\sin^2\beta,$$ 也即 $$\dfrac 43=\dfrac {2-\sin^2\alpha-\sin^2\beta}3+\sin^2\alpha+\sin^2\beta,$$ 整理可得 $$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\iff \sin^2\alpha=\cos^2\beta,$$ 于是 $\alpha-\beta=k\pi+\dfrac{\pi}2$，也即 $\angle POQ$ 为直角，因此 $\triangle POQ$ 为直角三角形．