每日一题[2691]基本放缩

已知函数 $f(x)=(2 a-1) x-2 a \ln x-\dfrac{1}{x}$，$a \in \mathbb{R}$．

1、讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、当 $\dfrac{1}{2}<a<1$ 时，求证：$f(x)>\dfrac{2(a-1)\left(a^{3}+1\right)}{2 a-1}$ 对 $x \in(1,+\infty)$ 恒成立．

解析

1、根据题意，有函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{(x-1)((2a-1)x-1)}{x^2},$$ 讨论的分界点为 $a=\dfrac12,1$．

情形一    $a\leqslant \dfrac 12$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减．

情形二    $\dfrac 12<a<1$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $\left(1,\dfrac1{2a-1}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{1}{2a-1},+\infty\right)$ 上单调递增．

情形三    $a=1$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．

情形四     $a>1$．此时函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{2a-1}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{1}{2a-1},1\right)$ 上单调递减，在 $\left(1,+\infty\right)$ 上单调递增．

2、根据第 $(1)$ 小题的结论，当 $\dfrac 12<a<1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x=\dfrac{1}{2a-1}$ 处取得极小值，也为最小值，因此只需要证明 $$f\left(\dfrac{1}{2a-1}\right)>\dfrac{2(a-1)(a^3+1)}{2a-1},$$ 即 $$2-2a+2a\ln(2a-1)>\dfrac{2(a-1)(a^3+1)}{2a-1},$$ 也即 $$\ln(2a-1)>\dfrac{(a-1)(a^2+2)}{2a-1},$$ 令 $x=2a-1$，则题意即 $$\forall x\in (0,1),\ln x>\left(1-\dfrac 1x\right)\left(1+\dfrac{(x+1)^2}{8}\right),$$ 而当 $x\in(0,1)$ 时，有 $$0>\ln x>1-\dfrac 1x,$$ 因此命题得证．