每日一题[2676]三项变二项

若 $\left(x+\dfrac{1}{2 x}-\sqrt{2}\right)^{n}$ 展开式的常数项为 $\dfrac{35}{2}$，则正整数 $n$ 的值为_______．

答案    $4$．

解析  注意到

$$\left(x+\dfrac{1}{2 x}-\sqrt{2}\right)^{n}=\left(\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt{2x}}\right)^{2n},$$ 于是常数项为 $$T(n,n)=\dfrac{(2n)!}{n!\cdot n!}\left(\sqrt x\right)^n\cdot \left(-\dfrac{1}{2\sqrt x}\right)^n=\dfrac{(2n)!}{n!\cdot n!}\left(\dfrac{1}{-\sqrt 2}\right)^n=\dfrac{35}2,$$ 验算 $n=2,4,\cdots$，可得 $n=4$．