每日一题[2670]小拼盘

已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $2$，$P$ 是空间任意一点．

① 若点 $P$ 是正方体表面上的点，则满足 $|AP|=\dfrac12$ 的动点轨迹长是 $\dfrac{3\pi}4$；

② 若点 $P$ 是线段 $AD_1$ 上的点，则异面直线 $BP$ 和 $B_1C$ 所成角的取值范围是 $\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}2\right]$；

③ 若点 $P$ 是侧面 $BCC_1B_1$ 上的点，$P$ 到直线 $BC$ 的距离与到点 $C_1$ 的距离之和为 $2$，则点 $P$ 的轨迹是椭圆；

④ 过点 $P$ 的平面 $\alpha$ 与正方体每条棱所成角都相等，则平面 $\alpha$ 截正方体所得截面的最大面积是 $3\sqrt 3$．

以上说法正确的有[[nn]]．

答案    ①④．

解析    对于命题 ①，满足 $|AP|=\dfrac 12$ 的动点轨迹是 $3$ 段半径为 $\dfrac12$ 的四分之一圆弧，因此所求轨迹长为 $\dfrac{3\pi}4$．

对于命题 ②，如图，注意到 $B_1C\perp ABC_1D_1$，因此当 $P$ 在 $AD_1$ 上运动时，始终有 $BP\perp B_1C$，因此所求取值范围是 $\left\{\dfrac{\pi}2\right\}$．

对于命题 ③，建立平面直角坐标系 $B-CB_1$，设 $P(x,y)$（$x,y\in[0,1]$），$C_1(1,1)$，于是

$$d(P,BC)+|PC_1|=2\iff y+\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=2\iff (x-1)^2=3-2y,$$ 这是抛物线的一部分．

对于命题 ④，此时平面 $\alpha$ 的法线与正方体的体对角线平行，因此当截面是边长为 $\sqrt 2$ 的正六边形是其面积最大，为 $6\cdot \left(\dfrac {\sqrt 3}4\cdot\left(\sqrt 2\right)^2\right)=3\sqrt 3$．

综上所述，命题 ①④ 正确．