每日一题[2659]极值点偏移

已知 $2021 \ln a=a+m$，$2021 \ln b=b+m$，其中 $a \neq b$，若 $a b<\lambda$ 恒成立，则实数 $\lambda$ 的取值范围为（       ）

A．$\left[\left(\dfrac{2021}{\mathrm{e}}\right)^{2},+\infty\right)$

B．$\left[2023^{2},+\infty\right)$

C．$\left[2021^{2},+\infty\right)$

D．$\left[(2021 \mathrm{e})^{2},+\infty\right)$

答案    C．

解析    令 $p=2021$，则 $x=a,b$ 是函数 $f(x)=p\ln x-x-m$ 的两个零点．函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac px-1,$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $(0,p)$ 上单调递增，在 $(p,+\infty)$ 上单调递减，在 $x=p$ 处取得极大值亦为最大值 $f(p)=p\ln p-p-m$．

一方面，当 $m\to p\ln p-p$ 时，$a,b\to p$，此时 $ab\to p^2$；

另一方面，有

$$\ln a =\dfrac{a+m}{p},\quad \ln b =\dfrac{b+m}{p},$$ 而根据对数平均不等式，有 $$\sqrt{ab}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac {a+b}2\implies \sqrt{ab}<\dfrac{a-b}{\frac{a-b}{p}}<\dfrac{a+b}2\implies \begin{cases} ab<p^2,\\ a+b>2p.\end{cases}$$ 因此实数 $\lambda$ 的取值范围是 $\left[p^2,\infty\right)$．