每日一题[2650]解三角形

已知双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$，渐近线上一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{P O} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$（$O$ 为坐标原点），$\angle O P F_{1}=30^{\circ}$，则双曲线 $C$ 的离心率为（       ）

A．$\dfrac{5 \sqrt{2}}{6}$

B．$\dfrac{\sqrt{21}}{3}$

C．$\dfrac{5}{3}$

D．$\dfrac{7}{3}$

答案    B．

解析    如图．

由 $\overrightarrow{P O} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$ 可得 $|OP|=a$，$|PF_2|=b$．由 $\triangle PF_1O$ 与 $\triangle PF_2O$ 的面积相等，可得

$$\dfrac 12\cdot \sin\angle F_1PO\cdot |OP|\cdot |PF_1|=\dfrac 12\cdot \sin\angle F_2PO\cdot |OP|\cdot |PF_2|\implies |PF_1|=2|PF_2|=2b,$$ 在 $\triangle OPF_1$ 中应用余弦定理，可得 $$|OF_1|^2=|OP|^2|+|PF_1|^2-2\cdot |OP|\cdot |PF_1|\cdot \cos\angle OPF_1,$$ 即 $$a^2+b^2=a^2+(2b)^2+2\cdot a\cdot 2b\cdot \cos30^\circ\implies \dfrac ba=\dfrac2{\sqrt 3},$$ 从而双曲线 $C$ 的离心率 $e=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{21}}3$．