已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为 F1,F2,渐近线上一点 P 满足 →PO⋅→PF2=0(O 为坐标原点),∠OPF1=30∘,则双曲线 C 的离心率为( )
A.5√26
B.√213
C.53
D.73
答案 B.
解析 如图.
由 →PO⋅→PF2=0 可得 |OP|=a,|PF2|=b.由 △PF1O 与 △PF2O 的面积相等,可得12⋅sin∠F1PO⋅|OP|⋅|PF1|=12⋅sin∠F2PO⋅|OP|⋅|PF2|⟹|PF1|=2|PF2|=2b,在 △OPF1 中应用余弦定理,可得|OF1|2=|OP|2|+|PF1|2−2⋅|OP|⋅|PF1|⋅cos∠OPF1,即a2+b2=a2+(2b)2+2⋅a⋅2b⋅cos30∘⟹ba=2√3,从而双曲线 C 的离心率 e=√1+b2a2=√213.