每日一题[2650]解三角形

已知双曲线 C:x2a2y2b2=1a>0b>0)的左、右焦点为 F1,F2,渐近线上一点 P 满足 POPF2=0O 为坐标原点),OPF1=30,则双曲线 C 的离心率为(       )

A.526

B.213

C.53

D.73

答案    B.

解析    如图.

POPF2=0 可得 |OP|=a|PF2|=b.由 PF1OPF2O 的面积相等,可得12sinF1PO|OP||PF1|=12sinF2PO|OP||PF2||PF1|=2|PF2|=2b,OPF1 中应用余弦定理,可得|OF1|2=|OP|2|+|PF1|22|OP||PF1|cosOPF1,a2+b2=a2+(2b)2+2a2bcos30ba=23,从而双曲线 C 的离心率 e=1+b2a2=213

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