每日一题[2649]等体积法

在三棱锥 $P-A B C$ 中，$\triangle A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，$P A=4$，$P B=P C=2 \sqrt{3}$，以 $A B$ 为直径的球的表面被 $\triangle P A C$ 截得的曲线长度为（       ）

A．$\dfrac{\sqrt{3}}{6} \pi$

B．$\dfrac{\sqrt{6}}{6} \pi$

C．$\dfrac{2 \sqrt{3}}{9} \pi$

D．$\dfrac{2 \sqrt{6}}{9} \pi$

答案    C．

解析    设以 $AB$ 为直径的球球心为 $O$，$BC$ 的中点为 $M$，连接 $AM,PM$，则 $BC\perp PAM$．根据题意，有 $$d(O,PAC)=\dfrac 12d(B,PAC)=\dfrac12\cdot \dfrac{[\triangle PAM]\cdot |BC|}{[\triangle PAC]}=\dfrac{[\triangle PAM]\cdot |BC|}{2[\triangle PAC]}.$$

而在等腰 $\triangle PBC$ 中可得 $|PM|=\sqrt{11}$，在 $\triangle PAM$ 中 $|AM|=\sqrt 3$，$|PA|=4$，因此可得 $\cos\angle PMA=-\dfrac{1}{\sqrt{33}}$，从而 $$[\triangle PAM]=\dfrac 12\cdot\sin\angle PMA\cdot |MP|\cdot |MA|=2\sqrt 2.$$ 在 $\triangle PAC$ 中，可得 $[\triangle PAC]=2\sqrt 3$，从而可得 $$d(O,PAC)=\dfrac{[\triangle PAM]\cdot |BC|}{2[\triangle PAC]}=\dfrac{\sqrt 6}3,$$ 因此所求曲线长度为 $$2\pi\cdot \sqrt{\left(\dfrac12|AB|\right)^2-d^2(O,PAC)}=\dfrac{2\sqrt 3}9\pi.$$