每日一题[2648]迂回

已知 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，若 $2 \sin C=c \sin B$，$a \cos B-c=1$，$\triangle A B C$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则 $a=$ _______．

答案    $\sqrt 7$．

解析    根据正弦定理，有

$$2\sin C=c\sin B\implies 2c=cb\implies b=2,$$ 而根据余弦定理，有 $$a\cdot \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}-c=1\iff \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\dfrac 1b=-\dfrac 12,$$ 从而 $A=120^\circ$，进而由 $\triangle ABC$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，可得 $$\dfrac 12bc\sin A=\dfrac{\sqrt 3}2\implies c=1,$$ 再根据余弦定理，可得 $$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}=\sqrt 7.$$