每日一题[2646]左右夹击

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数．且当 $x \leqslant 0$ 时，$f(x)={\log _{2}}(a-x)$．

1、求函数 $f(x)$ 的解析式．

2、若对任意的 $x \in[-1,1]$，都有不等式 $f\left(x^{2}-m x+m\right)+f\left(2 x^{2}-m x+2\right)<0$ 恒成立，求 实数 $m$ 的取值范国．

解析

1、函数 $f(x)$ 的解析式为

$$f(x)=\begin{cases} {\log_2}(1-x),&x\leqslant 0,\\ -{\log_2}(1+x),&x>0.\end{cases}$$

2、根据题意，函数 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的单调递减的奇函数，于是题意即

$$\forall x\in [-1,1],f(x^2-mx+m)<f(-2x^2+mx-2),$$ 也即 $$\forall x\in [-1,1],x^2-mx+m>-2x^2+mx-2,$$ 也即 $$\forall x\in [-1,1],(2x-1)m<3x^2+2,$$ 也即 $$\begin{cases} \forall x\in \left[-1,\dfrac 12\right),m>\dfrac{3x^2+2}{2x-1},\\ \forall x\in \left(\dfrac 12,1\right],m<\dfrac{3x^2+2}{2x-1},\end{cases}$$ 进而可得实数 $m$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{3-\sqrt{33}}2,5\right)$．