每日一题[2644]复合函数不等式

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，$g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且 $f(x), g(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 单调递减，则（       ）

A．$f(f(1))<f(f(2))$

B．$f(g(1))<f(g(2))$

C．$g(f(1))<g(f(2))$

D．$g(g(1))<g(g(2))$

答案    BD．

解析    取 $f(x)=x^2$，$g(x)=-x$，则

$$g(f(x))=-x^2,$$ 排除选项 $\boxed{C}$；

取 $f(x)=x^2-4$，则

$$f(f(x))=(x^2-4)^2-4,$$ 排除选项 $\boxed{A}$．

对于选项 $\boxed{B}$，有

$$0=g(0)<g(-1)<g(-2)\implies 0>g(1)>g(2)\implies f(g(1))<f(g(2)),$$ 命题正确；

对于选项 $\boxed{D}$，有

$$0=g(0)<g(-1)<g(-2)\implies 0>g(1)>g(2)\implies g(g(1))<g(g(2)),$$ 命题正确；

综上所述，选项 $\boxed{B}$ 和 $\boxed{D}$ 符合题意．