每日一题[2639]恰好垂直

如图，四边形 $A B C D$ 是圆柱底面的内接四边形，$A C$ 是圆柱的底面直径，$P C$ 是圆柱的母线，$E$ 是 $A C$ 与 $B D$ 的交点，$A B=A D$，$\angle B A D=60^{\circ}$．

1、记圆柱的体积为 $V_1$，四棱锥 $P-A B C D$ 的体积为 $V_2$，求 $\dfrac{V_1}{V_2}$．

2、设点 $F$ 在线段 $A P$ 上，$P A=4 P F$，$P C=4 C E$，求二面角 $F-C D-P$ 的余弦值．

解析

1、不妨设圆柱底面半径 $r=2$，高为 $h$，则\[\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{ \pi r^2\cdot h}{\dfrac 13\cdot \left(\dfrac 12\cdot AC\cdot BD\right)\cdot h}=\dfrac{\pi r^2\cdot h}{\dfrac 13\cdot \left(\dfrac 12\cdot 2r\cdot \sqrt 3r\right)\cdot h}=\sqrt 3\pi.\]

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有 $CD=2$，$CE=1$，于是 $\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{PF}{PA}=\dfrac 14$，从而 $EF\parallel PC$，因此 $P-CD-P$ 的二面角的余弦值为 $E-CD-E$ 的二面角 $\varphi$ 的正弦值 $\sin\varphi$．计算可得

$$CF=\sqrt{10},\quad DE=\sqrt 3,\quad EF=3\quad DF=2\sqrt 3,$$ 因此 $\triangle DCF$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt{39}}2$，$\triangle DCE$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，根据面积射影定理，有 $$\cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt{13}}\implies \sin\varphi=\dfrac{2\sqrt 3}{\sqrt{13}}=\dfrac{2\sqrt{39}}{13},$$ 因此所求余弦值为 $\dfrac{2\sqrt{39}}{13}$．