每日一题[2635]滚动距离

如图，正六边形 $A B C D E F$ 边长为 $2$、其内部有一个边长为 $1$ 的正方形 $P Q M N$，边 $P Q$ 在正六边形边 $A B$ 上，点 $P$ 与点 $A$ 重合．正方形 $P Q M N$ 沿正六边形 $AB,BC$ 边转动，当点 $P$ 与点 $PC$ 重合时，点 $P$ 形成的轨迹的长度为_______．

答案    $\left(1+\dfrac{\sqrt 2}6\right)\pi$．

解析    设 $BC$ 的中点为 $R$，则点 $P$ 的运动轨迹是三段弧首尾链接形成的曲线 $PMP_1C$，其中弧 $PM,MP_1,P_1C$ 的圆心分别为 $Q,B,R$，圆心角分别为 $\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}2$，因此根据弧长公式，所求轨迹的长度为

$$\dfrac{\pi}2\cdot 1+\dfrac{\pi}6\cdot \sqrt 2+\dfrac{\pi}2\cdot 1=\left(1+\dfrac{\sqrt 2}6\right)\pi.$$